分析 (1)根据配方法,可得顶点坐标;
(2)①根据圆的直径所对的圆周角是90°,可得直角三角形,根据勾股定理,可得关于a的方程,根据解方程,可得答案;
②根据BF=2MF,可得关于x的方程,根据解方程,可得x的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;
③根据等腰三角形的判定,可得△QGD也是等腰直角三角形,根据腰长相等,可得关于b的方程,根据解方程,可得答案.
解答 解:(1)∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
∴D(1,-4a).
(2)①∵以AD为直径的圆经过点C,
∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°;
由y=ax2-2ax-3a=a(x-3)(x+1)知,A(3,0)、B(-1,0)、C(0,-3a),则:
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,即:9a2+9+a2+1=16a2+4,
化简,得:a2=1,由a<0,得:a=-1,
②∵a=-1,∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3,D(1,4).
∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN,
∴PM∥x轴,且PM=OB=1;
设M(x,-x2+2x+3),则OF=x,MF=-x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;
∵BF=2MF,∴x+1=2(-x2+2x+3),化简,得:2x2-3x-5=0
解得:x1=-1(舍去)、x2=$\frac{5}{2}$
∴M($\frac{5}{2}$,$\frac{7}{4}$)、N($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).
③设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,过C作CH⊥QD于H,如下图:
∵C(0,3)、D(1,4),
∴CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,
∴△QGD也是等腰直角三角形,即:QD2=2QG2;
设Q(1,b),则QD=4-b,QG2=QB2=b2+4;
得:(4-b)2=2(b2+4),化简,得:b2+8b-8=0,
解得:b=-4±2$\sqrt{6}$;
即点Q的坐标为(1,-4+2$\sqrt{6}$)或(1,-4-2$\sqrt{6}$).
点评 本题考查了二次函数综合题,利用配方法是求顶点坐标的关键;利用勾股定理的出关于a的方程是解题关键;利用等腰三角形的腰相等得出关于b的方程是解题关键.
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