Question

20．如图1，二次函数y=ax²-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得顶点坐标；
（2）①根据圆的直径所对的圆周角是90°，可得直角三角形，根据勾股定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
②根据BF=2MF，可得关于x的方程，根据解方程，可得x的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
③根据等腰三角形的判定，可得△QGD也是等腰直角三角形，根据腰长相等，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a）．
（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax²-2ax-3a=a（x-3）（x+1）知，A（3，0）、B（-1，0）、C（0，-3a），则：
AC²=9a²+9、CD²=a²+1、AD²=16a²+4
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，即：9a²+9+a²+1=16a²+4，
化简，得：a²=1，由a＜0，得：a=-1，
②∵a=-1，∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3，D（1，4）．
∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM=OB=1；
设M（x，-x²+2x+3），则OF=x，MF=-x²+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵BF=2MF，∴x+1=2（-x²+2x+3），化简，得：2x²-3x-5=0
解得：x₁=-1（舍去）、x₂=$\frac{5}{2}$
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）、N（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：

∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD²=2QG²；
设Q（1，b），则QD=4-b，QG²=QB²=b²+4；
得：（4-b）²=2（b²+4），化简，得：b²+8b-8=0，
解得：b=-4±2$\sqrt{6}$；
即点Q的坐标为（1，-4+2$\sqrt{6}$）或（1，-4-2$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法是求顶点坐标的关键；利用勾股定理的出关于a的方程是解题关键；利用等腰三角形的腰相等得出关于b的方程是解题关键．