【题目】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠BCD<90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在边AB上确定点P的位置,使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形.
【答案】在线段AB上且距离点A为1、6、处.
【解析】
分∠DPC=90°,∠PDC=90,∠PDC=90°三种情况讨论,在边AB上确定点P的位置,根据相似三角形的性质求得AP的长,使得以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形.
(1)如图,当∠DPC=90°时,
∴∠DPA+∠BPC=90°,
∵∠A=90°,
∴∠DPA+∠PDA=90°,
∴∠BPC=∠PDA,
∵AD∥BC,
∴∠B=180°-∠A=90°,
∴∠A=∠B,
∴△APD∽△BCP,
∴,
∵AB=7,BP=AB-AP,AD=2,BC=3,
∴,
∴AP2﹣7AP+6=0,
∴AP=1或AP=6,
(2)如图:当∠PDC=90°时,过D点作DE⊥BC于点E,
∵AD//BC,∠A=∠B=∠BED=90°,
∴四边形ABED是矩形,
∴DE=AB=7,AD=BE=2,
∵BC=3,
∴EC=BC-BE=1,
在Rt△DEC中,DC2=EC2+DE2=50,
设AP=x,则PB=7﹣x,
在Rt△PAD中PD2=AD2+AP2=4+x2,
在Rt△PBC中PC2=BC2+PB2=32+(7﹣x)2,
在Rt△PDC中PC2=PD2+DC2 ,即32+(7﹣x)2=50+4+x2,
解方程得:.
(3)当∠PDC=90°时,
∵∠BCD<90°,
∴点P在AB的延长线上,不合题意;
∴点P的位置有三处,能使以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形,分别在线段AB上且距离点A为1、6、处.
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【题目】如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,OA=1,OB=3,抛物线的顶点坐标为D(1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的表达式;
(3)过点D做直线DE//y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上A、D两点间的一个动点(点P不于A、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点G、F,当点P运动时,EF+EG的值是否变化,如不变,试求出该值;若变化,请说明理由。
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【题目】如图,P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为_____.
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【题目】如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为_________________
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当时,设抛物线与轴交于两点(点在点左侧),顶点为,若为等边三角形,求的值;
(3)过(其中)且垂直轴的直线与抛物线交于两点.若对于满足条件的任意值,线段的长都不小于1,结合函数图象,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)请按下列要求画图:
①将△ABC先向右平移5个单位,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称,画出△A2B2C2;
(2)若(1)所得的△A1B1C1与△A2B2C2,关于点P成中心对称,直接写出对称中心P点的坐标.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G,
(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE的中点,求FG的长.
②若DG=GF,求BC的长.
(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
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【题目】有这样一道习题:如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.
(1)证明:RP=RQ;
(2)请探究下列变化:
A、变化一:交换题设与结论.已知:如图1,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.证明:RQ为⊙O的切线.
B、变化二:运动探求. ①如图2,若OA向上平移,变化一中结论还成立吗?(只交待判断) 答:_________.
②如图3,如果P在OA的延长线上时,BP交⊙O于Q,过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,原题中的结论还成立吗?为什么?
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