Question

17．抛物线y=ax²-2ax+m经过点A（-1，0），与x轴另一交点为B，交y轴负半轴于C点，且S_△CAB=6
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在y轴右侧的抛物线上有一点M，使△AMC的面积为9，请求出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设B的坐标为（x，0），由根与系数关系得出-1+x=2，求出B（3，0），得出AB=1+3=4，由S_△CAB求出OC=3，得出C（0，-3），把A和C坐标代入抛物线得出方程组，解方程组即可；
（2）设M的坐标为（x，x²-2x-3），由△AMC的面积=梯形ADEM的面积-△ACD的面积-△CEM的面积得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）设B的坐标为（x，0），
∵抛物线y=ax²-2ax+m，A（-1，0），
当y=0时，ax²-2ax+m=0，
∴-1+x=2，
∴x=3，
∴B（3，0），
∴AB=1+3=4，
∵S_△CAB=$\frac{1}{2}$×4•×OC=6，
∴OC=3，
∴C（0，-3），
把A（-1，0）和C（0，-3）代入抛物线y=ax²-2ax+m得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，m=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）设M的坐标为（x，x²-2x-3），分别过点A、M作y轴的平行线，过C作x轴的平行线，交前面平行线于D、E，连接AM，如图所示：则△AMC的面积=梯形ADEM的面积-△ACD的面积-△CEM的面积=$\frac{1}{2}$（3+x²-2x-3+3）（1+x）-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$x（x²-2x-3+3）=9，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{73}}{2}$（负值舍去），
∴x²-2x-3=$\frac{33-3\sqrt{73}}{2}$，
∴M点的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{73}}{2}$，$\frac{33-3\sqrt{73}}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式、三角形面积的计算方法；求出抛物线的解析式是解决问题的关键．