Question

26、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．
（1）求证：EF=PF；
（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据已知判定△ECF≌△PCF，从而得到EF=PF．
（2）过点C作CQ⊥EF于点Q，由（1）得，△ECF≌△PCF又CQ⊥EF，CD⊥FP，从而得到直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切．（根据切线的判定定理）

解答：证明：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
依题意△CDP是△CBE绕点C旋转90°得到，
∴∠ECP=90°，CE=CP．
∵∠ECF=45°，
∴∠FCP=∠ECP-∠ECF=90°-45°=45°．
∴∠ECF=∠FCP，CF=CF．
∴△ECF≌△PCF．
∴EF=PF．

解：（2）相切．
过点C作CQ⊥EF于点Q，
由（1）得，△ECF≌△PCF．
∴∠EFC=∠PFC．
∵CQ⊥EF，CD⊥FP，
∴CQ=CD．
∴直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切．

点评：本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，以及切线的判定性质的综合运用．