Question

3．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AC⊥BD，AB=$\sqrt{3}$cm，AD：BC=1：3，则S_梯形ABCD=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作辅助线构建平行四边形和直角三角形，证明四边形ABFD是矩形和四边形ACED是平行四边形，根据AD：BC=1：3，设AD=x，BC=3x，得出BF=x，EF=3x，利用直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形相似得比例式（即射影定理），可以求出x的值，利用面积公式求S_梯形ABCD=2$\sqrt{3}$．

解答 解：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，过D作DF⊥BC于F，
则∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=$\sqrt{3}$，AD=BF，
设AD=x，BC=3x，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=x，
∴EF=BE-BF=4x-x=3x，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴DF²=BF•EF，
∴$（\sqrt{3}）^{2}$=x•3x，
x=±1，
∵x＞0，
∴x=1，
∴AD=1，BC=3，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（1+3）×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直角梯形的性质，在梯形的问题中，常作辅助线解决问题；常作的辅助线方法有：①作对角线的平行线，构建平行四边形，②作腰的平行线，构建平行四边形，③延长两腰，④作梯形的高线等；本题利用了两底的比设未知数，根据比例式列等量关系式，求出两底边，使问题得以解决．