Question

如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请写出必要的推理过程；
（2）△CED是不是直角三角形？请说明理由；
（3）若已知AD=6，AB=14，请求出请求出△CED的面积．

Answer 1

分析：（1）由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；
（2）根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出；
（3）由（1）可得BE=AD，所以可求出AE，根据勾股定理可求出DE，再由已知∠1=∠2和（2）可知）△CED是等腰直角三角形，从而求出△CED的面积．

解答：解：（1）Rt△ADE≌Rt△BEC；
理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，又∠A=∠B=90°，AE=BC
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，
DE=CE、AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC；

（2））△CDE是直角三角形；
理由如下：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，
又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴2（∠AED+∠BEC）=180°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形；

（3）已知AD=BE=6，
∴AE=AB-BE=AB-AD=14-6=8，
在Rt△ADE中，
DE=

AE2+AD2

=

82+62

=10，
又∠1=∠2，
∴DE=CE=10，
再由（2）得：
△CED的面积为：

1

2

DE•CE=

1

2

×10×10=50．
所以△CED的面积为：50．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定及求直角三角形的面积，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．