Question

已知二次函数y=x²-（m²-2）x-2m的图象与x轴交于点A（x₁，0）和点B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²-（m²-2）x-2m的图象与x轴交于点A（x₁，0）和点B（x₂，0），x₁＜x₂，
令y=0，即x²-（m²-2）x-2m=0 ①，则有：
x₁+x₂=m²-2，x₁x₂=-2m．
∴===，
化简得到：m²+m-2=0，解得m₁=-2，m₂=1．
当m=-2时，方程①为：x²-2x+4=0，其判别式△=b²-4ac=-12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x²+x-2=0，其判别式△=b²-4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+x-2．

（2）假设在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．
如图所示，连接PA、PB、AC、BC，过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x²+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
∴A（-2，0），B（1，0），C（0，-2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即y_P=2，
∴直线解析式为y=x+3，
∴x_P=-1，
∴P（-1，2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（-1，2）．
分析：（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去；
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．
点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．