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21、如图平行四边形ABCD中,AC、BD交于O,EF是过O的直线,分别交CD、AB于E、F,且EF⊥AC.
(1)求证:OE=OF;
(2)试判断四边形AFCE的形状,并说明理由.
分析:(1)要证明OE=OF,就要证明三角形DEO和OFB全等,这两个三角形中已知的条件有OD=OB,一组对顶角,只要再得出一组对应角相等即可得出全等的结论.根据CD∥AB,我们可得到∠EDO=∠FBO,因此就构成了两三角形全等的条件(ASA).

(2)应该是菱形,可通过证明它的对角线互相垂直平分来得出结论.由(1)的OE=OF,又知道AO=OC,那么四边形AFCE的对角线互相平分,又已知了EF⊥AC,因此四边形AFCE的对角线互相垂直平分,因此是菱形.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AC交BD于D,
∴AB∥CD,AO=OC,
∴∠OAF=∠OCE.
∵∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE,
∴OE=OF.

(2)四边形AFCE是菱形.
∵OE=OF,OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴平行四边形AFCE是菱形.
点评:本题考查了全等三角形的判定,平行四边形的性质和菱形的判定等知识点,通过全等三角形得出简单的线段相等是解题的关键.
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