Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE²=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）探究：当x为何值时，tan∠D=．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证两三角形相似，就要找出两组相等的对应角．已知了一组直角，而∠CAE和∠ECB都是∠ACE的余角，因此这两个角就相等，由此可证得两三角形相似；
（2）在直角△ACB中，根据射影定理，可得出CE²=AE•BE，其中CE²=y，AE=4+x，BE=4-x，由此可得出关于x，y的函数关系式．
（3）已知了∠D的正切值，也就知道了∠A的正切值，也就是CE，AE的比例关系式，（2）中已得出了CE²，AE的表达式，那么可根据CE，AE的比例关系求出x的值．
解答：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．
又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；

（2）解：∵△ACE∽△CBE，
∴，
即CE²=AE•BE=（AO+OE）（OB-OE），
∴y=（4+x）（4-x）=16-x²；

（3）解：∵tan∠D=，即tan∠A=，
∴=．
则=，
即=．
解得x=2或x=-4（舍去）．
故当x=2时，tan∠D=．
点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点．