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    已知：如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=12，AD=5，点M沿着DA方向从D向A运动，速度是每秒1个单位，同时，点N沿着CD方向从C到D运动，速度是每秒2个单位，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间是x秒．
    （1）几秒时MN∥BC？
    （2）设△DMN的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式．
    （3）是否存在某一时刻，使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
    23
    ？如果存在，则求出此时x的值；如果不存在，请说明理由．
    （4）如图（2），在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能否成为菱形？如果有可能，求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．
    分析：（1）设x秒时MN∥BC，过点A作AE∥BC交CD于E，由平行线、平行公理的推论及等腰梯形的性质得出∠D=∠MND，则MN=MD；再由MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出MN：AE=DN：DE，求出MN=10-
    5
    3
    x；然后根据MN=MD列出关于x的方程，解方程即可；
    （2）过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．先由等腰梯形的性质求出DF=3，则在直角△ADF中，运用勾股定理得出AF=4，再由MG∥AF，根据平行线分线段成比例定理得出MG：AF=DM：AD，求出MG=
    4
    5
    x，然后根据三角形的面积公式即可得到求y与x之间的函数关系式；
    （3）当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
    2
    3
    时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的
    1
    3
    ，由此列出方程，整理得出x2-6x+15=0，即可判断这样的时刻不存在；
    （4）先由轴对称的性质得出DM′=DM，M′N=MN，再由（1）知，x=
    15
    4
    秒时MN=MD，根据四边相等的四边形是菱形得出x=
    15
    4
    秒时四边形DMNM′是菱形．
    解答：解：（1）如图，设x秒时MN∥BC，此时DM=x，CN=2x．
    过点A作AE∥BC交CD于E，则∠AED=∠C，
    ∵MN∥BC，∴MN∥AE，
    ∴∠MND=∠AED，
    ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
    ∴∠D=∠C，
    ∴∠D=∠MND，
    ∴MN=MD．
    ∵MN∥AE，
    ∴MN：AE=DN：DE，即MN：5=（12-2x）：6，
    解得MN=10-
    5
    3
    x．
    ∵MN=MD，
    ∴10-
    5
    3
    x=x，
    解得x=
    15
    4
    ．
    故
    15
    4
    秒时MN∥BC；

    （2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．
    ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=6，CD=12，
    ∴DF=
    1
    2
    （CD-AB）=3．
    在直角△ADF中，∠AFD=90°，AD=5，DF=3，
    ∴AF=
    		AD2-DF2
    =4．
    ∵MG∥AF，
    ∴MG：AF=DM：AD，即MG：4=x：5，
    ∴MG=
    4
    5
    x，
    ∴y=
    1
    2
    DN•MG=
    1
    2
    ×（12-2x）×
    4
    5
    x=-
    4
    5
    x2+
    24
    5
    x．
    故所求y与x之间的函数关系式为y=-
    4
    5
    x2+
    24
    5
    x；

    （3）不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
    2
    3
    ．理由如下：
    ∵△DMN的面积+多边形ABCNM的面积=梯形ABCD面积，
    ∴当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
    2
    3
    时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的
    1
    3
    ，
    ∴-
    4
    5
    x2+
    24
    5
    x=
    1
    3
    ×
    1
    2
    ×（6+12）×4，
    整理得x2-6x+15=0，
    ∵△=36-60=-24＜0，
    ∴x无解．
    故不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
    2
    3
    ．

    （4）在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能成为菱形．理由如下：
    由轴对称的性质可知，DM′=DM，M′N=MN，
    又由（1）知，x=
    15
    4
    秒时MN=MD，
    ∴x=
    15
    4
    秒时MN=MD=DM′=M′N，
    ∴x=
    15
    4
    秒时四边形DMNM′是菱形．
    点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行公理的推论，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形、梯形的面积，轴对称的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定难度．利用平行线分线段成比例定理列出比例式，进而用含x的代数式表示相关线段是解题的关键．
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    答：
    否
    否
    （填：“是”或“否”）

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