Question

17．已知∠BAD=135°，∠BAC=∠BDC=90°，DB=DC=4，AB=2，求AD的长．

Answer 1

分析 作DE⊥AC于E，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出BC=4$\sqrt{2}$，再由勾股定理求出AC=2$\sqrt{7}$，求出∠DAE=45°，证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE，AD=$\sqrt{2}$DE，设DE=AE=x，则CE=2$\sqrt{7}$-x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出AD的长．

解答 解：作DE⊥AC于E，如图所示：
则∠DEA=∠DEC=90°，
∵∠BDC=90°，DB=DC=4，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=90°，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵∠BAD=135°，
∴∠DAE=135°-90°=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE，AD=$\sqrt{2}$DE，
设DE=AE=x，则CE=2$\sqrt{7}$-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE²+CE²=CD²，
即x²+（2$\sqrt{7}$-x）²=4²，
解得：x=$\sqrt{7}$-1，或x=$\sqrt{7}$+1（不合题意，舍去），
∴AD=$\sqrt{2}$（$\sqrt{7}$-1）=$\sqrt{14}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．