Question

11．求证：n是自然数时，n⁵-n一定能被30整除．

Answer 1

分析 利用因式分解的方法得到n⁵-n=n（n-1）（n+1）（n²+1），利用n是自然数，先判断（n-1）n（n+1）能被6整除，再分类讨论：n=5k，显然原式能被5整除；n=5k+1时，n-1=5k显然原式能被5整除；n=5k+2或n=5k+3时，可判断n²+1 能被5整除，n=5k+4时，n+1能被5整除．于是得到无论n为何值，原式能被5整除，所以n是自然数时，n⁵-n一定能被30整除．

解答 证明：n⁵-n=n（n⁴-1）
=n（n²-1）（n²+1）
=n（n-1）（n+1）（n²+1），
∵n是自然数，
∴（n-1）n（n+1）为连续的三个自然数．
∴（n-1）n（n+1）能被2和3整除，即它一定能被6整除，
不妨设：n=5k，显然原式能被5整除；
n=5k+1时，n-1=5k显然原式能被5整除；
 n=5k+2时，n²+1=（5k+2）²+1=25k²+20k+4+1 能被5整除，显然原式能被5整除；
n=5k+3时，n²+1=（5k+3）²+1=25k²+30k+10 能被5整除，显然原式能被5整除；
n=5k+4时，n+1能被5整除．
综上所述，无论n为何值，原式能被5整除，
∴n是自然数时，n⁵-n一定能被30整除．

点评 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了分类讨论思想的运用．