Question

16．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，AC⊥BC，OA=2，OB=8，设顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求S_{四边形ABDC}．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性质首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）作DE⊥AB于点E，则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△BED即可求解．

解答 解：（1）∵直角△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，即$\frac{OC}{2}=\frac{8}{OC}$，
解得：OC=4，则C的坐标是（0，-4）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
函数的解析式是y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）x=-$\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}$=3，把x=-3代入解析式得：y=-$\frac{25}{4}$，
则D的坐标是（3，-$\frac{25}{4}$）．
作DE⊥AB于点E，则E的坐标是（3，0），则OE=3，BE=8-3=5．
S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
S_梯形OEDC=$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{25}{4}$）×3=$\frac{111}{8}$；
S_△BED=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{25}{4}$=$\frac{125}{8}$．
则S_{四边形ABDC}=3+$\frac{111}{8}$+$\frac{125}{8}$=$\frac{65}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质求得C的坐标是关键．