Question

如图1，抛物线F₁：y=x²+b₁x的顶点为P，与x轴交于A、O两点，且△APO为等腰直角三角形，△A′P′O与△APO关于原点O位似，且△A′P′O与△APO在原点的两侧，相似比为1：2，抛物线F₂：y=a₂x²+b₂x经过O、P′、A′三点．

（1）求A′O的长及a₂的值；
（2）若将“抛物线F₁：y=x²+b₁x”改为“抛物线F₁：y=a₁x²+b₁x（a₁＞0）”，其他条件不变，求a₂与a₁的关系；
（3）如图2，若将“抛物线F₁：y=a₁x²+b₁x”改为“抛物线F₁：y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁＞0）”，将“抛物线F₂：y=a₂x²+b₂x”改为“抛物线F₁：y=a₂x²+b₂x+c₂”，将“相似比为1：2”改为“相似比为1：m”，猜想a₂与a₁的关系．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）由于△PAO是等腰直角三角形，那么OA的一半等于顶点纵坐标的绝对值，可用抛物线的对称轴方程表示出OA的一半，而P点纵坐标易得，根据上述等量关系即可求得OA的长，进而根据△OAP、△OA′P′的位似比求得OA′的长，然后仿照上面的方法即可求出a₂的值．
（2）首先求出两个抛物线的顶点坐标，由于两个抛物线关于原点对称，且位似比为1：2，那么它们的顶点横、纵坐标的绝对值的比也为1：2，可据此列出等量关系，求得a₁、a₂的比例关系．
（3）可先设出两个等腰直角三角形的斜边的一半的长，进而根据它们的对称轴方程和斜边一半的长表示出各底角顶点的坐标，进而可得到等腰直角三角形斜边上的高，根据等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半，来求得a₁、a₂的比例关系．

解答：解：（1）由题意知：抛物线F₁：y=x²+b₁x的顶点为P（-

b1

2

，-

b12

4

）；
由于△APO为等腰直角三角形，则

b1

2

=

b12

4

，
解得b₁=2；
故OA=2×

b1

2

=b₁=2，OA′=

1

2

OA=1；
同理，抛物线F₂：y=a₂x²+b₂x的顶点为P′（-

b2

2a2

，-

b22

4a2

）；
由于△A′P′O是等腰直角三角形，
故-

b2

2a2

=-

b22

4a2

（*），
而OA′=1，即-

b2

2a2

=

1

2

，
即b₂=-a₂，
代入（*）中，得：a₂=-2．

（2）易得P（-

b1

2a1

，-

b12

4a1

），P′（-

b2

2a2

，-

b22

4a2

）；
由于两个抛物线关于原点对称，且位似比为1：2，则有：
-

b1

2a1

=-2（-

b2

2a2

），-

b12

4a1

=-2（-

b22

4a2

）；
联立两式，
可得a₂=-2a₁．

（3）设△AOP的斜边长为2R，△A′P′O的斜边长为2r；
易知：P（-

b1

2a1

，

4a1c1-b12

4a1

），P′（-

b2

2a2

，

4a2c2-b22

4a2

）；
那么B点横坐标可表示为：R-

b1

2a1

，纵坐标可表示为：a₁（R-

b1

2a1

）²-b₁（R-

b1

2a1

）+c₁；
由于△AOP是等腰直角三角形，则有：
a₁（R-

b1

2a1

）²-b₁（R-

b1

2a1

）+c₁-

4a1c1-b12

4a1

=R，
整理得：a₁R₂=R，
即R=

1

a1

；
同理可得：r=-

1

a2

；
而R=mr，则

1

a1

=-

m

a2

，即a₂=-ma₁．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形的位似变换、二次函数的性质等知识，由于此题中，大部分数据都是未知数，且运算量较大，所以难度较大．