Question

3．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²，直线L：y=kx+1（k为任意实数）．直线L与y轴交于点F，与抛物线C交于A、B两点，直线m：y=-1，过A、B两点分别作m的垂线，垂足分别为A₁，B₁．
（1）证明：△AFA₁、△BFB₁都是等腰三角形；
（2）证明：△A₁FB₁是直角三角形；
（3）以点F为圆心，半径为1的圆与直线L交于C、D两点（A、C在y轴同侧），|AC|，|BD|分别表示线段AC、BD的长度，求|AC|•|BD|．

Answer 1

分析 （1）先求得F的坐标，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据勾股定理求得AF²=（1+y₁）²，从而求得AF²=AA₁²，同理求得BF²=BB₁²，即可证得结论；
（2）利用两点间的距离公式，分别求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判断三角形的形状．
（3）联立直线与抛物线，利用根与系数的关系可以求出x₁•x₂的值，由（1）可知AF=AA₁=1+y₁，BF=BB₁=1+y₁，得出|AC|=y₁，|BD|=y₂，进而即可求得|AC|•|BD|的值．

解答 解：（1）如图，∵直线L：y=kx+1与y轴交于点F，
∴F（0，1），
∵直线y=kx+1与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A、B两点，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵AF²=x₁²+（1-y₁）²=x₁²+（1-$\frac{1}{4}$x₁²）²=（1+$\frac{1}{4}$x₁²）²=（1+y₁）²，
∵AA₁=1+y₁，
∴AF²=AA₁²，
∴AF=AA₁，
∴△AFA₁是等腰三角形；
同理可证BF=BB₁，
∴△AFA₁、△BFB₁都是等腰三角形；

（2）如图，设直线m与y轴交于F₁，
∵FA₁²=FF₁²+A₁F₁²=x₁²+4，
FB₁²=FF₁²+F₁B₁²=x₂²+4，
A₁B₁²=（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FA₁²+FB₁²=A₁B₁²，
∴△A₁FB₁是以F点为直角顶点的直角三角形．

（3）如图，∵直线y=kx+1与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A、B两点，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴可以得出：kx+1=$\frac{1}{4}$x²，
整理得：$\frac{1}{4}$x²-kx-1=0，
∵a=$\frac{1}{4}$，c=-1，
∴x₁•x₂=-4，
由（1）可知AF=AA₁=1+y₁，BF=BB₁=1+y₁，
∵|AC|=AF-1=y₁，|BD|=BF-1=y₂，
∴|AC|•|BD|=y₁•y₂=$\frac{1}{4}$x₁²•$\frac{1}{4}$x₂²=$\frac{1}{16}$（x₁•x₂）²=$\frac{1}{16}$×（-4）²=1．

点评 本题考查的是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定，方程的根与系数的关系等，本题有一定的难度．