Question

11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2的图象分别交x、y轴于点A，B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且把△AOB的面积分成两部分．
（1）如果把△AOB分成的两部分面积相等，求k和b．
（2）如果将△AOB分成的两部分面积之比为1：5，求k和b．

Answer 1

分析 （1）△AOB被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB的面积的一半，那么直线y=kx+b（k≠0）必过A点，因此根据B，C两点的函数关系式可得出，直线的函数式．
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的$\frac{1}{6}$，已知了直线过C点，那么小三角形的底边是大三角形的OB边的一半，那么小三角形的高应该是OA的$\frac{1}{3}$，即直线经过的这点的纵坐标应该是$\frac{1}{3}$．那么这点应该在y轴和AB上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式．

解答 解：（1）令y=-x+2=0，
解得：x=2，
令x=0，
解得：y=2，
∴点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2），
∵点C（1，0），
∴C是OB的中点，
∴直线y=kx+b（k≠0）必经过A点，
∴直线y=kx+b一定经过点A，C，把A，C的坐标代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$；

（2））∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y=kx+b（k≠0）与y轴或AB交点的纵坐标就应该是：2×2×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$，
当y=kx+b（k≠0）与直线y=-x+2相交时：
当y=$\frac{2}{3}$时，直线y=-x+2与y=kx+b（k≠0）的交点的横坐标就应该是-x+2=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{4}{3}$，
即交点的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
又根据C点的坐标为（1，0），可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}k+b=\frac{2}{3}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
当y=kx+b（k≠0）与y轴相交时，交点的坐标就应该是（0，$\frac{2}{3}$），又有C点的坐标（1，0），可得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
因此：k=2，b=-2或k=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了两条直线平行或相交的问题，解题的关键是确定点C的位置，并确定此时把△AOB分成面积相等的两部分，难度适中．