Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），A（3，4）和C（11，0），点P（t，0）是x轴上的一个动点，以P为圆心，$\frac{1}{2}$AP长为半径，顺时针方向转90°得PB，连AB、BC、AC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，点B在此抛物线上；
（3）当t＞0时，在点P运动过程中，是否存在△ABC为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意设y=ax（x-11），代入A（3，4）即可求得a的值，从而求得解析式；
（2）作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，先证得△APD∽△PBE，对应边成比例求得B的坐标，代入抛物线的解析式即可求得；
（3）分三种情况分别讨论求得即可．

解答 解：（1）根据题意设y=ax（x-11），
代入A（3，4）得，4=3a（3-11），解得a=-$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x（x-11）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{11}{6}$x；
即：$y=-\frac{1}{6}{x^2}+\frac{11}{6}x$；
（2）作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠BPE=90°，
∴∠PAD=∠BPE，
∵∠ADP=∠PEB=90°，
∴△APD∽△PBE，
∴$\frac{PD}{BE}$=$\frac{AD}{PE}$=$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2}{1}$，
∵A（3，4），
∴AD=4，
∴PE=2，
∵P（t，0），
∴E（t+2，0），
∵PD=t-3，
∴BE=$\frac{1}{2}$（t-3），
∴B（t+2，$\frac{t-3}{2}$），代入$y=-\frac{1}{6}{x^2}+\frac{11}{6}x$可得$\frac{t-3}{2}$=-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{11}{6}$（t+2），
解得t=2+$\sqrt{31}$或2-$\sqrt{31}$；
（3）∵B（t+2，$\frac{t-3}{2}$），A（3，4），C（11，0）
∴AB²=（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²，BC²=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²，AC²=8²+4²=80，
当AB=AC时，
（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²=80，
解得t₁=3+4$\sqrt{3}$，t₂=3-4$\sqrt{3}$
由于t＞0，所以t₂=3-4$\sqrt{3}$舍去
∴P的坐标为（3+4$\sqrt{3}$，0）；
当AB=BC时，（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²，
解得t=$\frac{9}{4}$，
当AC=BC时，80=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²
解得t₁=$\frac{39+\sqrt{1534}}{5}$，t₂=$\frac{39-\sqrt{1534}}{5}$，
由于t＞0，所以t₂=$\frac{39-\sqrt{1534}}{5}$舍去，
∴P点坐标为（3+4$\sqrt{3}$，0）或（$\frac{9}{4}$，0）或（$\frac{39+\sqrt{1534}}{5}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定等，分类讨论思想的运用是解题的关键．