Question

12．已知：直线l₁：y=kx+b（k＞0）过点F（-4，4），直线l₁与过点（-2，4）的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂）（x₂＜x₁＜0）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若过A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，交AC于点E，AE=4$\sqrt{2}$，试求直线l₁的解析式；
（3）如图2，把直线l₁绕点F旋转，这条动直线始终与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于P、Q两点．过点P、点Q分别作x轴的平行线，在这两条平行线上（P、Q两点的右侧如图所示）分别截取PM=PF，QN=QF，连接MN并延长交x轴于点H．试问∠MHO的大小是否随着直线l₁的旋转变化而变化，请作出判断并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
（2）将点F的坐标代入直线l₁的解析式中找出k、b的关系，再将反比例函数解析式x=-$\frac{8}{y}$代入直线l₁的解析式中，由根与系数的关系找出y₁+y₂=4k+4，y₁•y₂=8k，结合AE=4$\sqrt{2}$，即可得出关于k的方程，解方程即可得出结论；
（3）由点P、Q在直线l₁上，可找出x₁、y₁以及x₂、y₂之间的关系，由PM=PF，QN=QF找出点M、N的坐标，过点M作y轴的平行线，交QN的延长线于点K，分别找出MK、NK，由二者间的关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象过点（-2，4），
∴k=-2×4=-8，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$．
（2）直线l₁：y=kx+b（k＞0）过点F（-4，4），
∴4=-4k+b，即b=4k+4，
∴直线l₁：y=kx+4k+4（k＞0）．
将x=-$\frac{8}{y}$代入到y=kx+4k+4中，整理得：y²-（4k+4）y+8k=0，
∴y₁+y₂=4k+4，y₁•y₂=8k，
∴y₁-y₂=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\sqrt{（4k+4）^{2}-32k}$=4$\sqrt{2}$，
解得：k=1或k=-1（舍去），
∴直线l₁的解析式为y=x+8．
（3）∵直线l₁：y=kx+4k+4（k＞0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＜x₁＜0），
∴y₁=kx₁+4k+4，y₂=kx₂+4k+4，
PF=PM=$\sqrt{（{x}_{1}+4）^{2}+（{y}_{1}-4）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+4）^{2}+（k{x}_{1}+4k）^{2}}$=（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
QF=QN=$\sqrt{（{x}_{2}+4）^{2}+（{y}_{2}-4）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{2}+4）^{2}+（k{x}_{2}+4k）^{2}}$=-（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
∴M[x₁+（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，y₁]，N[x₂-（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，y₂]．
过点M作y轴的平行线，交QN的延长线于点K，如图所示．
则MK=y₁-y₂，NK=（x₁-x₂）+（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$+（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$=（x₁-x₂）+（x₁+x₂+8）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
将y=-$\frac{8}{x}$代入y=kx+4k+4中，整理得：kx²+（4k+4）x+8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k+4}{k}$，x₁•x₂=$\frac{8}{k}$，
∴x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{4k+4}{k}）^{2}-4×\frac{8}{k}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$，
NK=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+（-$\frac{4k+4}{k}$+8）$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+$\frac{4k-4}{k}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
MK=y₁-y₂=k（x₁-x₂）=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
故MK=NK，
∴直线MN与x轴的夹角∠MHO为定值45°．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）得出关于k的方程；（3）找出MK=NK．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，巧妙的利用线段相等找出点M、N的坐标，再将反比例函数解析式代入一次函数解析式中利用根与系数的关系表示出来线段的长度是关键．