解:(1)由题意可知O
1(m,m),O
2(n,n),
设过点O
1,O
2的直线解析式为y=kx+b,则有:
(0<m<n),解得
,
∴所求直线的解析式为:y=x.
(2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O
1O
2对称.
∵P(4,1),直线O
1O
2解析式为y=x,∴Q(1,4).
如解答图1,连接O
1Q.
∵Q(1,4),O
1(m,m),根据两点间距离公式得到:
O
1Q=
=
又O
1Q为小圆半径,即QO
1=m,
∴
=m,化简得:m
2-10m+17=0 ①
如解答图1,连接O
2Q,同理可得:n
2-10n+17=0 ②
由①,②式可知,m、n是一元二次方程x
2-10x+17=0 ③的两个根,
解③得:x=5±
,∵0<m<n,∴m=5-
,n=5+
.
∵O
1(m,m),O
2(n,n),
∴d=O
1O
2=
=8.
(3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax
2+bx+c,
因为开口向下,所以a<0.
如解答图2,连接PQ.
由相交两圆性质可知,PQ⊥O
1O
2.
∵P(4,1),Q(1,4),
∴PQ=
=
,又O
1O
2=8,
∴S
1=
PQ•O
1O
2=
×
×8=
;
又S
2=
(O
2R+O
1M)•MR=
(n+m)(n-m)=
;
∴
=
=1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1.
∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4),
∴
,解得
,
∴抛物线解析式为:y=ax
2-(5a+1)x+5+4a,
令y=0,则有:ax
2-(5a+1)x+5+4a=0,
设两根为x
1,x
2,则有:x
1+x
2=
,x
1x
2=
,
∵在x轴上截得的线段长为1,即|x
1-x
2|=1,
∴(x
1-x
2)
2=1,∴(x
1+x
2)
2-4x
1x
2=1,
即(
)
2-4(
)=1,化简得:8a
2-10a+1=0,
解得a=
,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾,
∴不存在这样的抛物线.
分析:(1)根据直线过点O
1(m,m),O
2(n,n),利用待定系数法求出其解析式;
(2)本问有一定难度.可分以下步骤解决:
第1步:首先根据P、Q关于连心线对称,求出Q点的坐标;
第2步:求出m、n.利用两点间的距离公式,求出O
1Q,而O
1Q=m,从而得到关于m的一元二次方程,求解即可得到m的大小;同理求得n;
第3步:利用两点间距离公式求d.
(3)本问有一定难度.可分以下步骤解决:
第1步:假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax
2+bx+c,因为开口向下,所以a<0;
第2步:求出S
1、S
2,再代入计算得:
=1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1;
第3步:根据抛物线过点P(4,1),Q(1,4),用待定系数法求得其解析式为:y=ax
2-(5a+1)x+5+4a;
第4步:由抛物线在x轴上截得的线段长为1,即|x
1-x
2|=1,得到关于a的一元二次方程,此方程的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(a<0)相矛盾,所以得出结论:这样的抛物线不存在.
点评:本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一元二次方程的解法及根与系数关系、两点间的距离公式、相交两圆的性质和圆的切线的性质等知识,涉及的考点众多.第(1)问起点不高;第(2)问可以难住不少考生;若没有(2)的正确计算结果,则第(3)问难以得出正确结论.所以本题难度很大,对考生的综合解题能力要求很高,但同学们只要平时学习打好基础,并将所学知识融会贯通,就能够以不变应万变.