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如图1，已知矩形OABC中，OC=10，OA=6，在OA、OC边上选取适当的点E、F，将△OEF沿EF对折，使O点落在AB边上的D点．
（1）当点E取在点A上，得图2，求出相应的OF的长；
（2）写出OF的取值范围；
（3）在如图1中过点D作DG∥AO交EF于点T，交OC于点G，连接OT，得到图3
①证明四边形OEDT是菱形；
②设AD长为x，请你利用所学的函数及其图象的有关知识判断，当x取什么值时，菱形OEDT的周长L取最大值，并求出周长L的最大值．

分析：（1）根据对折和矩形的性质得出∠OAF=∠DAF=∠AFO，推出OF=OA即可；
（2）根据图形即可求出答案；
（3）①根据SAS证△OTF≌△DTF，推出∠TOF=∠TDF=∠ADE，再证Rt△AED≌Rt△GTO，推出ED=OT，根据平行四边形的性质求出OE=DT，即可推出答案；
②根据勾股定理得出方程（10-x）²=10²-6²，求出x，依题意得出方程x2+(6-

)2=(

)2，化成顶点式即可求出答案．

解答：（1）解：在图1中，根据题意
∵矩形ABCO，
∴AB∥OC，∠BAC=90°，
∵△EOF延AF折叠得到△ADF，
∴∠OAF=∠DAF=45°=∠AFO，
∴OF=OA=6
答：相应的OF的长是6．

（2）答：OF的取值范围是0＜OF≤6．

（3）①证明：∵FD=FO，∠DFE=∠EFO，FT=FT，
∴△OTF≌△DTF，
∴∠TOF=∠TDF=∠ADE，
∵AD=OG，∠A=∠TGO=90°，
∴Rt△AED≌Rt△GTO，
∴ED=OT，
∵OA=DG，AE=TG，
∴DT=EO，
∴ED=DT=OT=OE，
∴四边形OEDT是菱形．

②解：利用图2′Rt△DBC得：（10-x）²=10²-6²，
解得x=2或x=18（不合题意，舍去），
利用图2及（1）的结果得x=6，
所以2≤x≤6，
依题意得：x2+(6-

)2=(

)2，
所以L=12+

（2≤X≤6），
由于函数值L在坐标轴（L轴）的右侧随x的增大而增大，所以当x=6时，L取最大值，
即L最大=12+

=24，

答：当x取6时，菱形OEDT的周长L取最大值，周长L的最大值是24．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

23、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）除了正方形外，写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：

矩形、直角梯形

；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB，并写出点M的坐标；
（3）如图2，以△ABC的边AB，AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE，BG相交于O点，P是线段DE上任意一点．求证：四边形OBPE是勾股四边形．