Question

（A类5分）如图1，平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：∠ADE=∠CBF；
（B类6分）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连接AC、CE，求证：AC=CE；
（C类7分）如图3，已知E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．求证：AE=FG．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题可通过证三角形ADE和CBF全等来解．根据ABCD是平行四边形可得出一组对应角相等和一组对应边相等，又有一组直角，因此可证得两三角形全等．
（2）根据等腰梯形的性质，等腰梯形的对角线相等，我们可连接BD，那么AC=BD，那么只要证BD=CE就行了，由于题中说明了DC平行且相等于BE，因此四边形DCEB是个平行四边形，因此可得出BD=CE．
（3）可通过构建全等三角形来证得，连接EC，我们不难得出四边形GEFC是矩形，由此可得出FG=EC，因此我们只要证AE=EC就可以了，那么就必须证得三角形AEB和CEB全等．根据正方形的性质我们不难得出两三角形全等的条件．（SAS）
解答：（A类）证明：在?ABCD中AD∥BC，AD=BC；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF；
∵DE⊥ACBF⊥AC，
∴∠AED=∠BFC=90°；
在△ADE和△BCF中．
∴△ADE≌△BCF；
∴∠ADE=∠CBF；

（B类）证明：连接BD；
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD；
又∵DC=BE且DC∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
∴BD=CE；
∴AC=CE；

（C类）证明：连接EC；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCD=90°，
在四边形EFCG中，
∵EG⊥DC，
∴∠EGC=90°；
同理∠EFC=90°；
∴四边形EFCG为矩形；
∴EC=GF；
在△ABE和△CBE中
∵．
∴△ABE≌△CBE；
∴AE=CE=FG．
点评：本题主要考查了等腰梯形，正方形，矩形的性质，以及全等三角形的判定，利用全等三角形来证线段相等是常用的方法．