如图，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，∠AOC=90°，OA=OC=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP垂直OA于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．分析 （1）用t可表示出BN、OM，则可表示出CN，又由△OAC为等腰直角三角形，MN⊥OA，可得到CN=NQ，AP=PQ，当M、P重合时，则有AM=PQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（2）由（1）可用t分别表示出AM、PQ，可表示出△AQM的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）由于∠OAC=45°，故当△AQM为直角三角形只能有QM⊥OA和MQ⊥AQ两种情况，当QM⊥OA时，则M、P重合，由（1）可得到t的值，当MQ⊥AQ时，则有MP=PQ，可得到关于t的方程可，可求得t的值．
解答 解：
（1）∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠OAC=45°，
∵OA∥BC，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∵NP⊥OA，
∴CN=NQ，PQ=AP，
当运动t秒时，则有BN=t，OM=2t，且BC=3，
∴CN=NQ=BC-BN=3-t，AP=PQ=PN-NQ=4-（3-t）=t+1，AM=OA-OM=4-2t，
当M和P重合时，则有AM=PQ，即t+1=4-2t，解得t=1，
∴当t的值为1秒时，M和P两点重合；
（2）当运动时间为t秒时，由（1）可知PQ=t+1，AM=4-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$AM•PQ=$\frac{1}{2}$（t+1）（4-2t）=-（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∵OA=4，
∴M点的运动时间最大为2秒，
∴0≤t≤2，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，Smax=$\frac{9}{4}$，
综上可知S=-（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{9}{4}$（0≤t≤2），当t=$\frac{1}{2}$时S有最大值；
（3）∵∠OAC=45°
∴当△AQM为直角三角形只能有QM⊥OA和MQ⊥AQ两种情况，
①当QM⊥OA时，则M、P重合，由（1）可得到t=1，此时NQ=3-t=2；
②当MQ⊥AQ时，则有MP=PQ，
由（1）可知AM=4-2t，AP=t+1，
∴PM=AM-AP=（4-2t）-（t+1）=3-3t，
又PQ=t+1，
∴3-3t=t+1，解得t=$\frac{1}{2}$，此时NQ=3-t=$\frac{5}{2}$；
综上当t的值为1秒或$\frac{1}{2}$秒时，△AQM为直角三角形，NQ的长分别为2或$\frac{5}{2}$．
点评 本题为运动型几何题，主要考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质及二次函数的最值等知识的应用．利用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的常用方法．本题属于基础性题目，难度不大．
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