Question

如图抛物线y=x²-（a+1）x+a交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C点．
（1）若S_△ABC=3，求抛物线解析式．
（2）在（1）的条件下，将直线AC绕平面内一点旋转90°交抛物线于M、N两点，（M在N左侧）若MN=AC时，求M、N坐标．
（3）若对称轴交线段BC于P，交AB于S，动点T在对称轴正半轴上运动，直线AT交BC于Q，设TS=b，且PB²=PQ•PC，求b与a之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由y=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），可知B（a，0），C（0，a），则AB=a-1，由S_△ABC=

1

2

×AB×OC=3求a，由对称轴x=-

a+1

2

＞1检验a的值，确定抛物线解析式；
（2）将直线AC旋转90°到MN的位置，使MN=AC，MN⊥AC，过N点作ND⊥x轴，过M点作ME⊥ND，垂足分别为D、E，由旋转的性质可证△MEN≌△COA，设M（m，m²-4m+3），利用线段之间的关系表示N点坐标，列方程求m即可；
（3）连接PA、TB，由抛物线的对称性得PA=PB，∠PAQ=∠PBT，结合已知可证△PAQ∽△PCA，得∠PAQ=∠PCA，可证BT∥AC及△CAO∽△TBS，利用相似比求a、b的函数关系式．

解答：解：（1）∵y=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
∴B（a，0），C（0，a），AB=a-1，
由S_△ABC=

1

2

×AB×OC=3，得

1

2

（a-1）a=3，
解得a=3或-2，
又对称轴x=

a+1

2

＞1，
∴a=3，
∴y=x²-4x+3；

（2）如图，将直线AC旋转90°到MN的位置，使MN=AC，MN⊥AC，
过N点作ND⊥x轴，过M点作ME⊥ND，垂足分别为D、E，
易证△MEN≌△COA，
∴ME=OC=3，NE=OA=1，设M（m，m²-4m+3），
则N点横坐标为m+3，纵坐标为（m+3）²-4（m+3）+3=m²+2m，
∴（m²+2m）-（m²-4m+3）=1，
解得m=

2

3

，
∴M（

2

3

，

7

9

），N（

11

3

，

16

9

）；

（3）如图，连接PA，TB，由抛物线的对称性可知PA=PB，
由PB²=PQ•PC，得PA²=PQ•PC，
∴△PAQ∽△PCA，
∴∠PAQ=∠PCA，根据抛物线对称性可知∠PAQ=∠PBT，
∴BT∥AC，∠CAO=∠TBS，
∴△CAO∽△TBS，
∴

OC

TS

=

OA

SB

，
即

a

b

=

1

a- a+1 2

，
即b=

1

2

a2-

1

2

a，
当T点在线段PS上时，同理可得b=

a-1

2a

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、相似，探究抛物线的对称性等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．