Question

14．（1）已知：如图1，在锐角三角形ABC中，高BD与CE相交于点O，且BD=CE，求证：OB=OC；
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=50°，∠EDC=30°，求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）欲证OB=OC，可证∠OBC=∠OCB，只要证明△BEC≌△CDB即可；由已知可得∠BEC=∠CDB=90°，BD=CE，BC是公共边，即可证得；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠ACD，再根据角平分线的定义求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，再利用三角形内角和定理解答即可．

解答 （1）证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC与Rt△DCB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC；
（2）解：∵DE∥AC，∠EDC=30°，
∴∠ACD=∠EDC=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-60°=70°，
在△ACD中，∠ADC=180°-∠ACD-∠A=180°-30°-70°=80．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．