Question

10．平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=$\frac{4}{3}$，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{4}{3}$，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP=$\frac{PE}{EB}$=2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，

①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°-∠Q′P′B-∠Q′P′D=180°-90°-10°=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°-（∠QPB-∠QPD）=180°-（90°-10°）=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°．

（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．

∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠ABP=2，
在Rt△APE中，tanA=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{4}{3}$，设PE=4k，则AE=3k，
在Rt△PBE中，tan∠ABP=$\frac{PE}{EB}$=2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
∴PE=8，EB=4，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{10}$．

（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．

在Rt△AEB中，∵tanA=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{4}{3}$，∵AB=10，
∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=8$\sqrt{2}$，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=$\frac{90•π•（8\sqrt{2}）^{2}}{360}$=32π．
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．

易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，
∴DF=AE+PE+PF-AD=x-1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA=$\frac{4}{3}$=$\frac{FQ}{DF}$，
∴$\frac{x}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，
∴x=4，
∴PE=4，$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
在Rt△PEB中，PB=，$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=$\frac{90•π•（4\sqrt{5}）^{2}}{360}$=20π
③如图5中，

当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=$\frac{90•π•{8}^{2}}{360}$=16π，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．