Question

如图：已知抛物线y₁=-x²-2x+8的图象交x轴于点A，B两点，与y轴的正半轴交于点C．抛物线y₂经过B、C两点且对称轴为直线x=3．
（1）确定A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线y₂的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与抛物线y₂交于M、N两点，以MN为一边，抛物线y₂上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入抛物线y₁可以求出点C的坐标，把y=0代入抛物线y₁可以求出点A和点B的坐标．（2）知道抛物线的对称轴，设出抛物线的顶点式，然后把B，C两点的坐标代入，用待定系数法求出抛物线y₂的解析式．（3）先求出点M，N的坐标，确定线段MN的长度，然后分别考虑点P在MN上方和下方两种情况求出平行四边形的面积S关于点P纵坐标y的函数关系式．

解答：解：（1）∵抛物线y₁=-x²-2x+8与y轴正半轴交于C
∴由抛物线y₁=-x²-2x+8可知C点坐标为（0，8）
∵抛物线y₁=-x²-2x+8与x轴的交点即y=0
∴把y=0代入到y₁=-x²-2x+8得：-x²-2x+8=0解得：x₁=-4 x₂=2
∴由图可知A点坐标为（-4，0），B点坐标为（2，0）

（2）设抛物线y₂的解析式为y₂=a（x-h）²+k
∵对称轴为直线x=3
∴y₂=a（x-3）²+k
把B（2，0），C（0，8）代入y₂=a（x-3）²+k得：

a(2-3)2+k=0 a(0-3)2+k=8

解得：

a=1 k=-1

∴抛物线y₂=（x-3）²-1

（3）∵抛物线y₂=（x-3）²-1与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴把y=3代入抛物线y₂=（x-3）²-1得：（x-3）²-1=3解得：x₁=1；x₂=5
∴M点坐标（1，3），N点坐标（5，3）
∴MN=4
∵抛物线y₂=（x-3）²-1
∴抛物线顶点坐标为（3，-1）
当y＞3时，平行四边开的面积为：
S=4（y-3）=4y-12
当-1≤y＜3时，平行四边形的面积为：
S=4（3-y）=-4y+12

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）分别把x=0和y=0代入二次函数，求出抛物线与两坐标轴的交点坐标．（2）根据题意列出抛物线的顶点式，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）先求出平行四边形的一边MN的长，然后用平行四边形的面积等于底乘以高，得到面积S关于点P的纵坐标的函数关系式．