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    如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x。
    （1）求证：AF=EC；
    （2）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C。
    ①求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值；
    ②在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
    解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE，
    ∴a（x+AF）=a（EC+b-AF），
    ∴2AF=EC+（b-x），
    又∵EC=b-x，
    ∴2AF=2EC，
    即AF=EC；
    （2）①当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），
    ∵EC∥E′B′，　
    ∴，
    由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，
    ∴x︰b=，
    当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），
    在梯形AE′B′D中，
    ∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
    ∴CE=（AD+E′B′），
    即b-x=（b+x），
    ∴x︰b=；
    ②如图（三），
    当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
    证明：连接BF，
    ∵FD∥BE，FD=BE，
    ∴四边形FBED是平行四边形，
    ∴FB∥DE，FB=DE，
    又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
    ∴DE=EE′，
    ∴FB∥EE′， FB=EE′，
    ∴四边形BE′EF是平行四边形
    ∴BE′∥EF，
    如图（四），
    当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
    设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，
    ∵x︰b=，
    ∴EM=BC=b，
    若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，
    又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
    ∴∠GBE=∠ME′E，
    在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，
    在Rt△EME′中，tan∠ME′E =，
    ∴，
    又∵a＞0，b＞0，，
    ∴当时，BE′与EF垂直。
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    EF=FC
    ；∠EFD的度数为
    90°
    ；
    （2）如图②，在图①的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图②的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；
    （3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图③，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．

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    （1）求直线AB的解析式；
    （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
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    科目：初中数学 来源：新课标　读想练同步测试　七年级数学(下) 北师大版 题型：044

    如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．

    (1)

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    (2)

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