Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE．

（1）求证：△ABE∽△DBA；

（2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PA与⊙O相切，理由见解析;(3)2.

【解析】分析: （1）先判断出弧AB=弧BC，进而得出∠ADB=∠BAE，即可得出结论；

（2）先判断出AB是PE的垂直平分线，进而得出∠BAP=∠BAE，即可得出结论；

（3）先利用相似得出AB，进而用勾股定理的粗话AE，再判断出△ABE∽△DCE，进而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出结论.

详解:

（1）证明：∵AB=BC，

∴，

∴∠ADB=∠BAE，

∵∠ABE=∠DBA，

∴△ABE∽△DBA；

（2）解：PA与⊙O相切，

理由：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∵PB=BE，

∴AB是PE的垂直平分线，

∴AP=AE，

∴∠BAP=∠BAE，

∵∠ADB=∠BAE，

∴∠BAP=∠ADB，

∵∠DAB+∠BDA=90°，

∴∠DAB+BAP=90°，

∵点A在⊙O上，

∴PA与⊙O相切；

（3）解：设BE=DE=a，则BD=2a，

∵△ABE∽△DBA，

∴，

∴，

∴AB=a，

根据勾股定理得，AE==a，

∵，

∴∠BAE=∠CDE，

∵∠AEB=∠DEC，

∴△ABE∽△DCE，

∴，

∴，

∴CD=a，CE=a，

∴AC=AE+CE=，

∵AD是⊙O直径，

∴∠ACD=90°，

在Rt△ACD中，tan∠ADC==2．

点睛: 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定和性质，线段的垂直平分线，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△DCE是解本题的关键.