Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=ax+b与x轴，y轴交于A，B两点，点C的坐标为（a，b）．
（1）若点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，-3），则点C的坐标为（1，-3）；
（2）若点D是线段OA的中点，点E的坐标为（1，0），且CE∥BD．点C在直线y=-4x上．
①求直线y=ax+b的解析式；
②点P为直线y=-4x上一点，当S_△PAB=$\frac{3}{2}$S_△COE时，直接写出点P坐标．

Answer 1

分析 （1）代入A、B点，即可解题；
（2）①分别用a、b表示点B、C、D坐标，即可解题；
②易证P在线段OC上，再根据S_△PAB=S_梯形AMNB-S_△PMA-S_△PNB即可解题．

解答 解：（1）将A、B两点代入y=ax+b可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-3，
∴点C坐标为（1，-3）；
（2）①∵y=ax+b与x轴交点A为（-$\frac{b}{a}$，0），与y轴交点B为（0，b），
∴点D坐标为（-$\frac{b}{2a}$，0），
∵CE∥BD，
∴k_CE=k_BD，
∴$\frac{b-0}{a-1}$=$\frac{0-b}{-\frac{b}{2a}-0}$，
∵点C在直线y=-4x上，
∴b=-4a，
解得：a=-1，b=4，
∴直线AB解析式为y=-x+4，
∴A（4，0）、B（0，4）、C（-1，4），
②如图，

S_△COE=$\frac{1}{2}$×1×4=2，则S_△PAB=3，
当P在C点时，S_△CAB=2，当P在O点时，S_△OAB=8，
∴P在线段OC上，
设点P（t，-4t）（t＜0），过P作y轴平行线分别交x轴、线段BC于点M、N，
则OM=BN=-t，PM=-4t，MN=ON=4，
∴AM=OA+OM=4-t，PN=MN-PM=4+4t，
∴S_△PAB=S_梯形AMNB-S_△PMA-S_△PNB=$\frac{1}{2}$（AM+BN）•MN-$\frac{1}{2}$PM•AM-$\frac{1}{2}$PN•BN，
代入整理得：4t²-8t-3=0，
解得：t=$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$或$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$（舍去），
∴点P坐标为（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，2$\sqrt{7}$-4）．

点评 本题考查了代入法求直线解析式的方法，考查了三角形的计算，本题中求得直线AB的解析式是解题的关键．