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5.等腰梯形ABCD既有内切圆,也有外接圆,其内切圆半径r=3cm,∠B=60°,则其外接圆半径R=2$\sqrt{7}$.

分析 根据等腰梯形ABCD的内切圆计算出高EG和ED、CG的长,在等腰梯形ABCD的外接圆中连接半径,构建两个直角三角形,设QG=x,利用同圆的半径QD=QC,根据勾股定理列方程求出x的值,最后利用勾股定理求出外接圆的半径.

解答 解:如图1,设⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆,与边AD、DC的切点分别为E、H,连接OE、OG、OD、OH,则OE⊥AD,OG⊥BC,OH⊥CD,
∴∠OED=∠OHD=90°,
∵AD∥BC,
∴E、O、G三点共线,∠ADC+∠C=180°,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠ADC=120°,
∵OD=OD,OE=OH,
∴△OED≌△OHD,
∴∠ODE=∠ODH=60°,
∵OE=3,
∴ED=$\sqrt{3}$,
过D作DM⊥BC于M,则DM=EG=6,
在Rt△DMC中,∠C=60°,
∴MC=2$\sqrt{3}$,
∴GC=GM+MC=3$\sqrt{3}$,
如图2,⊙Q是等腰梯形ABCD的外接圆,由题意可知:Q在EG上,
连接QD、QC,
设QG=x,则QE=6-x,
由勾股定理得:($\sqrt{3}$)2+(6-x)2=(3$\sqrt{3}$)2+x2
解得:x=1,
∴QC=$\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$,
则等腰梯形ABCD的外接圆半径为2$\sqrt{7}$.

点评 本题既考查了等腰梯形的性质,也考查了多边形的外接圆和内切圆的性质;熟练掌握:①等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过上下底的中点的直线;②等腰梯形同一底上的两个角相等;并在60°的直角三角形,利用特殊的三角函数值求直角边和斜边的长.

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