Question

如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，且点F在AD上，它们的边长分别为12，4．

（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S_△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点F在AD上，
∴AF²=4²+4²，即AF=4，
∴DF=12-4，
∴S_△DBF=DF×AB=×（12-4）×12=72-24；

（2）连接DF，AF．
∵由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形，
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴S_△DBF=S_△ABD=72-24；

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，
因为△BFD的边BD=12，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值．
如图②所示DF₂⊥BD时，S_△BFD的最大值=S△BF2D=×12•（6+4）=120，
S_△BFD的最小值=S△BF2D=×12•（6-4）=24；
分析：（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；
（2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；
（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值；
点评：本题考查了旋转的性质、勾股定理及正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．