Question

已知关于x的方程x²-7x+k=0（*）．
（1）请你选择一个合适的整数k，使得到的方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性．
（2）如果方程（*）的两个实数根x₁，x₂的值恰好是一个菱形的两条对角线长且满足x12x22-x12-x22-2x1x2=95，求该菱形的面积．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式的意义得到当△=49-4k≥0时，方程有两个不相等的实数根，解不等式得到k的取值范围，然后在此范围内取一整数即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0），再变形得到x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，则k²-7²=95，解得k₁=12，k₂=-12，根据题意得到k=12，然后根据菱形的面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）根据题意当△=49-4k≥0时，方程有两个不相等的实数根，
解得k≤

49

4

，
所以k取整数0时满足条件；

（2）根据题意得x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0）．
∵x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，
∴k²-7²=95，
解得k₁=12，k₂=-12，
∵k≤

49

4

，且k＞0，
∴k=12，
∴菱形的面积=

1

2

x₁x₂=

1

2

×12=6．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判别式和菱形的性质．