Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，4），作CD∥x轴交抛物线于点D，作DE⊥x轴，垂足为E，动点M从点E出发在线段EA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△DMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）①当MN∥DE时，直接写出t的值；
②在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MN⊥AD？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，4），可以求得b、c的值，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）要求△DMN的面积，根据题目中的信息可以得到梯形AEDC的面积、△ANM的面积、△MDE的面积、△CND的面积，从而可以解答本题；
（3）①根据MN∥DE，可以得到△AMN和△AOC相似，从而可以求得t的值；
②根据题目中的条件可以求得点N、点M、点A、点D的坐标，由AD⊥MN可以求得相应的t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{9}×（-3）^{2}+b×（-3）+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式为：y═-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4；
（2）作NH⊥AM于点H，如由图1所示，
∵y═-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4，
∴对称轴x=-$\frac{\frac{2}{3}}{2×（-\frac{2}{9}）}$=$\frac{3}{2}$，
∵点A（-3，0），点C（0，4），CD∥x轴交抛物线于点D，DE⊥x轴，垂足为E，
∴点D（3，4），点E（3，0），OA=3，OC=4，
∴AC=5，AE=6，CD=3，
∵NH⊥AM，AN=t，ME=2t，
∴△ANH∽△ACO，AM=6-2t，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{NH}{CO}$，
即$\frac{t}{5}=\frac{NH}{4}$，得NH=0.8t，
∴S=S_梯形AECD-S_△AMN-S_△DME-S_△CDN
=$\frac{1}{2}（3+6）×4-\frac{1}{2}×（6-2t）×0.8t$$-\frac{1}{2}×2t×4-\frac{1}{2}×3×（4-0.8t）$
=0.8t²-5.2t+12，
即S与t的函数关系式是S=0.8t²-5.2t+12（0＜t≤3）；
（3）①当MN∥DE时，t的值是$\frac{30}{13}$，
理由：如右图2所示
∵MN∥DE，AE=6，AC=5，AO=3，
∴AM=6-2t，AN=t，△AMN∽△AOC，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{AN}{AC}$，
即$\frac{6-2t}{3}=\frac{t}{5}$，
解得，t=$\frac{30}{13}$；
②存在某一时刻，使MN⊥AD，此时t的值是$\frac{90}{47}$，
理由：如右图3所示，
设过点A（-3，0），C（0，4）的直线的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}x+4$，
∵NH=0.8t，
∴点N的纵坐标为0.8t，
将y=0.8t代入y=$\frac{4}{3}x+4$得x=0.6t-3，
∴点N（0.6t-3，0.8t）
∵点E（3，0），ME=2t，
∴点M（3-2t，0），
∵点A（-3，0），点D（3，4），点M（3-2t，0），点N（0.6t-3，0.8t），AD⊥MN，
∴$\frac{4-0}{3-（-3）}•\frac{0.8t-0}{（0.6t-3）-（3-2t）}=-1$，
解得，t=$\frac{90}{47}$．

点评 本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，运用三角形的相似，数形结合的思想解答问题．