Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③△AGD的面积=△OGD的面积；④AE=GF；⑤BE=2OG．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③

B．①④

C．②③⑤

D．①④⑤

Answer 1

分析：①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠AGD=112.5°；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED

AD

AE

＞2；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；
④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；
⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=180°-∠GAD-∠ADG=112.5°，
故①正确．
∵tan∠AED=

AD

AE

，
由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜

1

2

AB，
∴tan∠AED=

AD

AE

＞2，
故②错误．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，
故③错误．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
故④正确．
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=

2

OG，
∴BE=

2

EF=

2

×

2

OG=2OG．
故⑤正确．
∴其中正确结论的序号是：①④⑤．

点评：此题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．