Question

已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），∠EAF=60°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）如图1，求证：BF+DE=EM；
（2）连接BE交AF于点N，若AF：AE=2：3，FC=4，求MN的长．

Answer 1

（1）如图1，延长CB至G，使GB=DE，连接AG、EF，
∵AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠C，∠D=∠BAD，∠C+∠D=180°．
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，∠ABG=120°，
∴∠ABG=∠ADC．∠BAD=120．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAF+∠DAE=60°．
在△ABG和△ADE中，

AB=AD ∠ABG=∠ADC GB=DE

，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴GB=DE．AG=AE，∠BAG=∠DAE．
∴∠BAF+∠GAB=60°，
即∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF．
∵GF=GB+BF，
∴GF=DE+BF．
在△AGF和△AEF中，

AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，∠AFB=∠AFE．
∵EM∥BC，
∴∠AFB=∠EMF，
∴∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴ME=GF，
∴BF+DE=EM；

（2）如图2，连接EF，作FQ⊥AE于Q，
∴∠AQF=∠EQF=90°．
∵∠EAF=60°，
∴∠AFQ=30°，
∴AQ=

1

2

AF．
作DH∥AF，交ME于P，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴四边形AFHD是平行四边形，
∴AD=FH．
∵AF：AE=2：3，设AF=2x，AE=3x，
∴AQ=x，EQ=2x．
在Rt△AQF和Rt△EQF中，由勾股定理，得
FQ=

3

x，EF=

7

x，
∴EM=

7

x．
∵∠AFB=∠AFE，∠ABF=∠EAF=60°，
∴△ABF∽△EAF，
∴

AB

EA

=

BF

AF

=

AF

EF

，
∴

AB

3x

=

BF

2x

=

2x

7 x

，
∴BF=

4 7 x

7

，AB=

5 7 x

7

=AD=DC，
∴DE=

3 7 x

7

．
∴HC=4-

5 7 x

7

，PE=

2 7 x

7

．
∵ME∥BC，
∴△PDE∽△HDC，
∴

PE

CH

=

DE

DC

，
∴

2 7 x 7

4- 5 7 x 7

=

3 7 x 7

5 7 x 7

，
∴x=

12 7

25

，
∴DE=

36

25

，AD=DC=

12

5

，AF=

24 7

25

．
∵AD∥ME∥CF，
∴

AM

AF

=

DE

DC

，
∴

AM

24 7 25

=

36 25

12 5

，
∴AM=

72 7

125

．
∴MF=

48 7

125

．
∵ME∥BC，
∴△MNE∽△FNB，
∴

MN

NF

=

ME

BF

，
∴

MN

NF

=

7 x

4 7 x 7

=

7

4

，
∴

MN

MN+NF

=

7

7+4

，
∴

MN

MF

=

7

11

，
∴

MN

48 7 125

=

7

11

，
∴MN=

336 7

1375

．