Question

如图，点O是Rt△ABC斜边上一点，⊙O与AC，BC分别相切于点M，N．
（1）△AMO是否相似于△ONB？

 

（填“是”或“否”）；
（2）如果OA=4，OB=3，⊙O的半径为

 

．

Answer 1

分析：（1）是．根据切线的性质定理得到直角三角形，再根据等角的余角相等，证明两个直角三角形的一对锐角相等，则两角对应相等，两个三角形相似；
（2）设圆的半径是r，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得．

解答：解：（1）∵⊙O与AC，BC分别相切于点M，N，
∴O M⊥AC，ON⊥BC，
在△AMO和△ONB中，∠AMO=∠ONB=90°，
又∵BC⊥AC，OM⊥AC，
∴OM∥BC，
∴∠AOM=∠OBN，
故△AMO∽△ONB；

（2）∵OM∥CN，ON∥CM，OM=ON，∠C是直角，
∴四边形CMON是正方形，
设⊙O的半径为r，即OM=ON=CM=CN=r，
在Rt△AMO中，AM=

OA2-OM2

=

16-r2

，
又∵△AMO∽△ONB，
∴

AM

ON

=

AO

OB

，
故

16-r2

r

=

4

3

，
解得：r=

12

5

，
即⊙O的半径是

12

5

．
故应该填是

12

5

．

点评：熟悉切线的性质定理，掌握相似三角形的判定和性质．