Question

15．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）当A、B在直线l同侧时，如图1，
①证明：△AEC≌△DCB；
②若AE=3，BD=4，计算△ACB的面积．（提示：间接求）
（2）当A、B在直线l两侧时，如图2，若AE=3，BD=4，连接AD，BE直接写出梯形ADBE的面积3.5．

Answer 1

分析 （1）①根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB；
②根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可，再利用勾股定理得出AC和BC的长计算即可；
（2）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可，利用梯形面积解答即可．

解答 解：（1）①∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DCB}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
②∵△AEC≌△CDB，
∴CE=BD，AE=CD，∠ACE=∠DBC，
∵ED=CE+CD，∠DBC+∠BCD=90°
∴ED=AE+BD，∠ACE+∠BCD=90°，
在Rt△ACB中，AC=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∴△ACB的面积=$\frac{1}{2}×5×5=12.5$；
（2）∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DCB}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CE-CD，
∴ED=BD-AE=4-3=1，
梯形ADBE的面积=$\frac{1}{2}×（3+4）×1=3.5$．
故答案为：3.5．

点评 本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AEC≌△CDB（是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．