Question

在直角坐标系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）为顶点的正方形，设正方形在直线y₁=x上方及直线y₂=-x+2a上方部分的面积为S，
（1）当a=

1

2

时，求S的值；
（2）当a=0时，将两直线绕着原点O顺时针旋转20°，求S的值；
（3）a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

2

时，可得y₂=-x+1，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据旋转的性质可知S的值等于大正方形面积的

1

4

；
（3）分①当a＜-1时；②当-1≤a＜0时；③当0≤a＜1时；④当a≥1时；四种情况讨论可求S关于a的函数关系式．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，y₂=-x+1，
如图1．
直线y₁=x与直线y₂=-x+1的交点是E（

1

2

，

1

2

），
S=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；

（2）当a=0时，y₂=-x，
S=

1

2

×

1

2

=

1

4

；

（3）①当a＜-1时，如图2，
△ADC的面积是S，
S=

1

2

×2×2=2；
②当-1≤a＜0时，如图3，
直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
EG=（1-|a|）=1+a，
AF=2（1+a），
S=S_△ADC-S_△AEF
=2-

1

2

（1+a）×2（1+a）
=2-（1+a）²；
③当0≤a＜1时，如图4，
直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
EG=1-a，
CF=2（1-a），
S=S_△CEF=

1

2

（1-a）×2（1-a）=（1-a）²；
④当a≥1时，如图5，S=0．
∴S关于a的函数关系式为：
①当a＜-1时，S=2；②当-1≤a＜0时，S=2-（1+a）²；③当0≤a＜1时，S=（1-a）²；④当a≥1时，S=0．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：图形的面积计算，旋转的性质，分类思想的运用，难度中等．