Question

16．小明为了通过描点法作出函数y=x²-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x₂-x₁=x₃-x₂=…=x₇-x₆=d，再分别算出对应的y值，列出表1：
表1

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	1	3	7	13	21	31	43

记m₁=y₂-y₁，m₂=y₃-y₂，m₃=y₄-y₃，m₄=y₅-y₄，…；s₁=m₂-m₁，s₂=m₃-m₂，s₃=m₄-m₃，…
（1）判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y=x²-x+1”改为“y=ax²+bx+c（a≠0）”，列出表2：
表2

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7

其他条件不变，判断s₁、s₂、s₃之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，列出表3：
表3

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	10	50	110	190	290	412	550

由于小明的粗心，表中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）．

Answer 1

分析 （1）根据表中数值计算出m₁、m₂、m₃、m₄，继而计算出s₁、s₂、s₃的值即可得知；
（2）可分别表示出s₁，s₂，s₃的值，然后进行比较即可．
（3）根据（1）（2）得出的规律，进行判断即可．

解答 解：（1）s₁=s₂=s₃．
∵m₁=y₂-y₁=3-1=2，
同理m₂=4，m₃=6，m₄=8．
∴s₁=m₂-m₁=4-2=2，
同理s₂=2，s₃=2．
∴s₁=s₂=s₃．

（2）s₁=s₂=s₃．
∵m₁=y₂-y₁=ax₂²+bx₂+c-（ax₁²+bx₁+c）=d[a（x₂+x₁）+b]．
m₂=y₃-y₂=ax₃²+bx₃+c-（ax₂²+bx₂+c）=d[a（x₃+x₂）+b]．
同理m₃=d[a（x₄+x₃）+b]、m₄=d[a（x₅+x₄）+b]．
∴s₁=m₂-m₁=d[a（x₃+x₂）+b]-d[a（x₂+x₁）+b]=2ad²．
同理s₂=2ad²、s₃=2ad²．
∴s₁=s₂=s₃．

（3）412．
∵m₁=y₂-y₁=50-10=40，m₂=y₃-y₂=110-50=60，m₃=y₄-y₃=190-110=80，m₄=y₅-y₄=290-190=100，m₅=y₆-y₅=412-290=122，…；
∴且s₁=s₂=s₃=20，而s₄=22，
故算错的值是412．

点评 本题结合二次函数的相关知识考查了规律性问题的解法．规律性问题通常要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．