如图.梯形ABCD中.AB∥CD.∠ABC=90°.AB=6.BC=8.tanD=2.点E是射线CD上一动点.将△BCE沿着BE进行翻折.点C的对应点记为点F．(1)如图1.当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时.求CE的长,(2)如图2.当点E在线段CD上时.设CE=x.$\frac{{{S {△BFC}}}}{{{S {△EFC}}}}$=y.求y与x之间的函数关系式.并写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，tanD=2，点E是射线CD上一动点（不与点C重合），将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F．
（1）如图1，当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时，求CE的长；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，设CE=x，$\frac{{{S_{△BFC}}}}{{{S_{△EFC}}}}$=y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）如图3，联结AC，线段BF与射线CA交于点G，当△CBG是等腰三角形时，求CE的长．

分析（1）把BE与MN的交点记为点O，根据折叠的性质以及梯形中位线定理，可判定△EFO是等边三角形，即可得出∠FEB=60°，∠CEB=60°，即可得出在Rt△ECB中，$EC=cot60°•BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}×8=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$；
（2）把BE与CF的交点记为点P，根据BE是CF的垂直平分线，可得S_△EFC=2S_△EPC，S_△BFC=2S_△BPC，进而得到$\frac{{{S_{△BFC}}}}{{{S_{△EFC}}}}=\frac{{{S_{△BPC}}}}{{{S_{△EPC}}}}$，再判定△ECP∽△CBP，可得$\frac{{{S_{△BPC}}}}{{{S_{△EPC}}}}={（\frac{BC}{EC}）^2}={（{\frac{8}{x}}）^2}=\frac{64}{x^2}$，即可得出$y=\frac{{{S_{△BFC}}}}{{{S_{△EFC}}}}=\frac{64}{x^2}$（0＜x≤10）；
（3）当△CBG是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①GB=GC；②CB=CG；③BC=BG，分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系，求得CE的长．

解答解：（1）把BE与MN的交点记为点O，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
由翻折得∠CEB=∠FEB，∠EFB=∠C=90°，
∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠CEB=∠FOE，$\frac{EO}{OB}=\frac{CN}{BN}=1$，
∴∠FEB=∠FOE，
∴FE=FO，
∵∠EFB=90°，EO=BO，
∴FO=EO，
∴FE=FO=EO，
∴△EFO是等边三角形，
∴∠FEB=60°，
∴∠CEB=60°，
∴在Rt△ECB中，$EC=cot60°•BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}×8=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$；

（2）把BE与CF的交点记为点P，
由翻折得，BE是CF的垂直平分线，
即∠EPC=∠BPC=90°，$FP=CP=\frac{1}{2}FC$，
∴S_△EFC=2S_△EPC，S_△BFC=2S_△BPC，
∴$\frac{{{S_{△BFC}}}}{{{S_{△EFC}}}}=\frac{{{S_{△BPC}}}}{{{S_{△EPC}}}}$，
∵∠ECP+∠BCP=90°，∠CBP+∠BCP=90°，
∴∠ECP=∠CBP，
又∵∠EPC=∠BPC=90°，
∴△ECP∽△CBP，
∴$\frac{{{S_{△BPC}}}}{{{S_{△EPC}}}}={（\frac{BC}{EC}）^2}={（{\frac{8}{x}}）^2}=\frac{64}{x^2}$
∴$y=\frac{{{S_{△BFC}}}}{{{S_{△EFC}}}}=\frac{64}{x^2}$（0＜x≤10）；

（3）当△CBG是等腰三角形时，存在三种情况：
①GB=GC，
延长BF交CD于点H，
∵GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
∵∠HCB=90°，
∴∠CHB+∠GBC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠GCB=90°，
∴∠CHB=∠CAB，
∴sin∠CHB=sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠CAB=90°，∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠CAB=∠GBA，
∴GA=GB，
∴GA=GC，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CH}{AB}=\frac{CG}{AG}=1$，
∴CH=AB=6，
∵CE=x，
∴EF=x，HE=6-x，
∵∠HFE=90°，
∴$sin∠CHB=\frac{EF}{HE}=\frac{x}{6-x}=\frac{4}{5}$，
解得$x=\frac{8}{3}$，即$CE=\frac{8}{3}$；

②CB=CG，
当CB=CG=8时，AG=10-8=2，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CH}{AB}=\frac{CG}{AG}=4$，
∴CH=4AB=24，
∵CE=x，
∴EF=x，HE=24-x，
∵∠HFE=∠HCB=90°，
∴$sin∠CHB=\frac{EF}{HE}=\frac{BC}{BH}=\frac{x}{24-x}=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，
解得$x=\frac{{8\sqrt{10}-8}}{3}$，即$CE=\frac{{8\sqrt{10}-8}}{3}$；

③BC=BG，
当BC=BG时，F点与G点重合，
由翻折可得，BE垂直平分线段GC，
∵∠CBE+∠BCA=90°=∠CAB+∠BCA，
∴∠CBE=∠CAB，
∵∠ECB=∠CBA=90°，
∴$tan∠CBE=tan∠CAB=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{CE}{8}=\frac{4}{3}$，
解得CE=$\frac{32}{3}$，
综上所述，CE的长为$\frac{8}{3}$、$\frac{{8\sqrt{10}-8}}{3}$、$\frac{32}{3}$．

点评本题属于四边形综合题，主要考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是画出图形，并进行分类讨论．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．

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