【题目】抛物线y=ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A坐标为(﹣1,0),一次函数y=x+k的图象经过点B、C.
(1)试求二次函数及一次函数的解析式;
(2)如图1,点D(2,0)为x轴上一点,P为抛物线上的动点,过点P、D作直线PD交线段CB于点Q,连接PC、DC,若S△CPD=3S△CQD,求点P的坐标;
(3)如图2,点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点,过点E作直线EG⊥x轴于点G,交直线BC于点F,当EF+CF的值最大时,求点E的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x﹣5,y=x﹣5;(2)(,)或(,)或(2,﹣9)或(3,﹣8);(3)E(3,﹣8)
【解析】
(1)首先确定点C的坐标,代入一次函数求出k,可得点B的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=ax2﹣4ax﹣5a,构建方程求出a即可解决问题.
(2)分两种情形:①当点P在直线BC的上方时,如图2﹣1中,作DH∥BC交y轴于H,过点D作直线DT交y轴于T,交BC于K,作PT∥BC交抛物线于P,直线PD交抛物线于Q.②当点P在直线BC的下方时,如图2﹣2中,分别求解即可解决问题.
(3)设E(m,m2﹣4m﹣5),则F(m,m﹣5),构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题即可.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C,
∴C(0,﹣5),
∵一次函数y=x+k的图象经过点B、C,
∴k=﹣5,
∴B(5,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=ax2﹣4ax﹣5a,
∴﹣5a=﹣5,
∴a=1,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x﹣5,一次函数的解析式为y=x﹣5.
(2)①当点P在直线BC的上方时,如图2﹣1中,作DH∥BC交y轴于H,过点D作直线DT交y轴于T,交BC于K,作PT∥BC交抛物线于P,直线PD交抛物线于Q.
∵S△CPD=3S△CQD,
∴PD=3DQ,
∵PT∥DH∥BC,
∴,
∵D(2,0),B(5,0),C(﹣5,0),
∴OA=OB=5,OD=OH=2,
∴HC=3,
∴TH=9,OT=7,
∴直线PT的解析式为y=x+7,
由,解得或,
∴P(,)或(,),
②当点P在直线BC的下方时,如图2﹣2中,
当点P与抛物线的顶点(2,﹣9)重合时,PD=9.DQ=3,
∴PQ=3DQ,
∴S△CPD=3S△CQD,
过点P作PP′∥BC,此时点P′也满足条件,
∵直线PP′的解析式为y=x﹣11,
由,解得或,
∴P′(2,﹣9),P′(3,﹣8),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(,)
或(,)或(2,﹣9)或(3,﹣8).
(3)设E(m,m2﹣4m﹣5),则F(m,m﹣5),
∴EF=(m﹣5)﹣(m2﹣4m﹣5)=5m﹣m2,CF=m,
∴EF+CF=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,
∵﹣1<0,
∴m=3时,EF+CF的值最大,此时E(3,﹣8).
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【题目】如图1和图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以AB为斜边的直角三角形ABC,点C在小正方形的顶点上,且;
(2)在图2中画出以AB为一边的等腰三角形ABD,点D在小正方形的顶点上,且的面积为16.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,点A在点B左侧,顶点在折线M﹣P﹣N上移动,它们的坐标分别为M(﹣1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物线移动过程中,点A横坐标的最小值为﹣3,则a﹣b+c的最小值是_____.
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【题目】综合与实践
操作发现:
如图1和图2,已知点为正方形的边和上的一个动点(点,,除外),作射线,作于点,于点,于点.
(1)如图1,当点在上(点,除外)运动时,求证:;
(2)如图2,当点在上(点,除外)运动时,请直接写出线段,,之间的数量关系;
拓广探索:
(3)在(1)的条件下,找出与相等的线段,并说明理由;
(4)如图3,若点为矩形的边上一点,作射线,作于点,于点,于点.若,,则_______.
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【题目】如图,在⊙O中,直径AB=10,tanA=.
(1)求弦AC的长;
(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;
(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t (0<t<),连结PQ.当t为何值时,△BPQ为Rt△?
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【题目】观察下表:
序号 | 1 | 2 | 3 | … |
图形 | … |
我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式,例如:
第1格的“特征多项式”为;
第2格的“特征多项式”为.
回答下列问题:
(1)第3格的“特征多项式”为________________,
第4格的“特征多项式”为______________________,
第格的“特征多项式”为___________________;
(2)若第1格的“特征多项式”的值为,第2格的“特征多项式”的值为,求的值;
(3)在(2)的条件下,第格的特征多项式的值为,则直接写出的值;若没有,请说明理由.
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【题目】某学校初一、初二年级各有500名学生,为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况,学校从初一、初二年级各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试,满分100分,成绩整理分析过程如下,请补充完整:
(收集数据)
初一年级20名学生测试成绩统计如下:
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97
初二年级20名学生测试成绩不低于80,但是低于90分的成绩如下:
83 86 81 87 80 81 82
(整理数据)按照如下分数段整理、描述两组样本数据:
成绩 | 0 | ||||
初一 | 2 | 3 | 7 | 5 | 3 |
初二 | 0 | 4 | 5 | 7 | 4 |
(分析数据)两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
初一 | 76.5 | 76.5 | 132.5 | |
初二 | 79.2 | 74 | 100.4 |
(1)直接写出,的值;
(2)根据抽样调查数据,估计初一年级消防安全知识测试成绩在70分及其以上的大约有多少人?
(3)通过以上分析,你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好,并说明推断的合理性.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交与A(4,-2),B(-2,n)两点,与轴交与点C.
(1)求,n的值;
(2)请直接写出不等式的解集;
(3)点A关于轴对称得到点A’,连接A’B,A’C,求△A’BC的面积.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点,连接MB,以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是______
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