Question

15．若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两个实数根，且满足|x₁|+2|x₂|=|c|+2，则称方程x²+bx+c=0为“T系二次方程”．如方程x²-2x=0，x²-2x-8=0，x²+3x+2=0，x²+4x+4=0都是“T系二次方程”．是否存在实数b，使得关于x的方程x²+bx+b+$\sqrt{2}$=0是“T系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

分析 根据x=-2时，求出b=4+$\sqrt{2}$，再把b的值代入x²+bx+b+$\sqrt{2}$=0，求出x的值，再分别求出|x₁|+2|x₂|和|c|+2的值，即可得出答案．

解答 解：当x=-2时，
由方程x²+bx+b+$\sqrt{2}$=0得到：4-2b+b+$\sqrt{2}$=0，
则b=4+$\sqrt{2}$，
x²+（4+$\sqrt{2}$）x+4+$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=0，
解得：x₁=-2，x₂=-2-$\sqrt{2}$，
则|x₁|+2|x₂|=2+4+2$\sqrt{2}$=6+2$\sqrt{2}$，
|c|+2=4+2$\sqrt{2}$+2=6+2$\sqrt{2}$，
即当b=4+$\sqrt{2}$时，方程x²+bx+b+$\sqrt{2}$=0是“T系二次方程”．

点评 此题考查了一元二次方程的解，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出方程，再求解．