Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+m=0
（1）x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个不同的实数根，且x₁和x₂满足x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）本题是对根与系数关系的考查，利用根与系数的关系可以求出另外一个根，也可以直接代入求解，
（2）x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，即（x₁+x₂）²-（x₁x₂）²=0，把两根的和与积代入，即可得到关于m的方程，从而求得m的值．

解答：解：（1）设方程的另一个根是x₁，那么x₁+1=-2，
∴x₁=-3；
（2）∵x₁、x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

m

2

，
又∵x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，
∴（x₁+x₂）²-（x₁x₂）²=0，
即4-

m2

4

=0，得m=±4，
又∵△=4²-8m＞0，得m＜2，
∴取m=-4．

点评：一元二次方程根与系数的关系为，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．本题易错的地方是忽略了△＞0．