Question

设p是实数，二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）根据题意，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

．
（1）求证：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根与系数的关系

专题：

分析：（1）利用根与系数关系直接得出答案；
（2）由于二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点，由此得到其判别式是正数，同时把x₂代入函数解析式然后变形即可解决问题；
（3）由于AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2+4p

，然后利用已知条件即可得到关于p的不等式，解不等式即可求解．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2px-p=0的两根为：x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2p，x₁x₂=-p；
故答案为：2p，-p；

（2）∵二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．
∴△=4p²+4p＞0，x₂²-2px₂-p=0，
∴2px₁+x₂²+3p，
=2px₁+2px₂+p+3p，
=2p（x₁+x₂）+4p，
=4p²+4p＞0；

（3）AB=|x₁-x₂|
=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2+4p

≤|2p-3|，
解得：p≤

9

16

，
又当p=

9

16

时满足题意，
故p的最大值是

9

16

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，首先利用抛物线与x轴有交点得到判别式是正数，然后利用图象上点的坐标满足解析式即可求解；同时也利用了公式AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2+4p

和解不等式．