Question

已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD折叠，使CA到CA′的位置，连接A′B．
（1）求证：四边形A'BCD是菱形；
（2）若BC=2，试求四边形A′BCD是菱形的面积S．

Answer 1

分析：（1）要证四边形A′BCD为菱形，则要通过题中的条件DA′∥CB和四边相等，（2）求出菱形两对角线的长，根据面积=两对角线乘积的一半算出面积．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB．
又CD是斜边AB的中线，
∴CD=AD=

1

2

AB=BD．
∴BC=AD=CD=BD，
∴∠DCB=60°，
∴∠A=∠DCA=30°．
∵将△ABC沿CD折叠得△DCA′，
∴DA′=DA=BC，∠DA′C=∠A=30°，∠DCA′=∠DCA=30°，
∴∠A′CB=∠DCB-∠DCA′=60°-30°=30°=∠DA′C，
∴DA′∥CB．∴四边形A′BCD为菱形．（5分）

（2）∵BC=2，∴BD=2，∴A′C=2

3

，∴S=

1

2

×BD×A'C=2

3

．（8分）

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．