Question

【题目】如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由见解析

【解析】

（1）先说明∠AFE=∠DCE，再证明△AEF和△DEC全等，最后根据全等三角形的性质和等量关系即可证明；

（2）由（1）可得AF平行且等于BD，即四边形AFBD是平行四边形；再利用等腰三角形三线合一，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，即可证明四边形AFBD是矩形．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵点E为AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD，

∴D是BC的中点；

（2）解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD；

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠ADB＝90°，

∴平行四边形AFBD是矩形．