Question

15．如图，△ABC中，∠ACD=90°，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由．
（2）求△BDE的周长；
（3）求四边形AEDC的面积．

Answer 1

分析 （1）证明△AED≌△ACD，得到AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）证明△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质解答．

解答 解：（1）在△AED和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CAD}\\{∠AED=∠ACD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，DE=DC，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴线段AD与CE垂直；
（2）∵∠ACD=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
BE=AB-AE=4，
△BDE的周长=BD+BE+DE=BC+BE=12cm；
（3）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AC=24cm²，
∵∠B=∠B，∠BED=∠BCA=90°，
∴△BED∽△BCA，又$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△BDE的面积=6cm²，
∴四边形AEDC的面积为=18cm²．

点评 本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质以及三角形的面积公式，正确理解题意、灵活运用相关的性质和定理是解题的关键，注意角的平分线上的点到角的两边的距离相等．