Question

5．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AC，BD是⊙O的直径，延长CD，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：∠ADB=∠ABC；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）若AD=3，BD=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角求得∠ACB=∠ABC，根据圆周角定理得出∠ADB=∠ACB，从而证得∠ADB=∠ABC；
（2）根据三角形内角和定理得出∠AOD=∠CAB，进而得出∠AOD=∠CDB，证得CD∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（3）根据圆周角定理得出∠DAB=90°，根据勾股定理得出AB=4，进而证得△EAD∽△ABD，对应边成比例即可求得AE的长．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠ABC；
（2）∵OA=OD，
∴∠ADB=∠OAD，
∵∠ACB=∠ABC，∠ADB=∠ABC，
∴∠ADO=∠OAD=∠ACB=∠ABC，
∴∠AOD=∠CAB，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠AOD=∠CDB，
∴CD∥OA，
∵AE⊥CD，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（3）∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
∵AD=3，BD=5，
∴AB=4，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAD=∠ABD，
∵∠DAB=∠DEA=90°，
∴△EAD∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{BD}$，即$\frac{AE}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．