Question

【题目】已知矩形ABCD，AB=10，AD=8，G为边DC上任意一点，连结AG，BG，以AG为直径作⊙P分别交BG，AB于点E，H，连结AE，DE．

（1）若点E为弧GH的中点，证明：AG=AB．

（2）若△ADE为等腰三角形时，求DG的长．

（3）作点C关于直线BG的对称点C′．

①当点C落在线段AG上时，设线段AG，DE交于点F，求△ADF与△AEF的面积之比；

②在点G的运动过程中，当点C′落在四边形ADGE内时（不包括边界），则DG的范围是　 　（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DG＝4或6或5；（3）①；②＜DG＜10．

【解析】

（1）由AG为⊙P直径可得：∠AEG=∠AEB=90°，由点E为弧DH的中点，可得：∠BAE=∠GAE，由此易证：△AEB≌△AEG；

（2）△ADE为等腰三角形，要分类讨论：①AE=AD，②AE=DE，③AD=DE；

（3）①△ADF与△AEF的高相等，面积之比等于底之比；连接PE，证明PE∥CD，再利用相似三角形性质易求得结论，②点C'落在AE上时可求得DG的最小值，最大值很容易看出为10．

（1）∵AG为⊙P直径，

∴∠AEG=∠AEB=90°．

∵点E为弧DH的中点，

∴∠BAE=∠GAE．

在△AEB和△AEG中，

∵，

∴△AEB≌△AEG（ASA），

∴AG=AB；

（2）如图1，△ADE为等腰三角形，分三种情况：

①AE=AD=8．

∵AG为⊙P直径，

∴∠AEG=∠AEB=90°，

∴BE6．

∵ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，BC=AD=8，CD=AB=10，

∴∠ABE+∠CBG=90°，∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠CBG=∠BAE．

在△BCG和△AEB中，

∵，

∴△BCG≌△AEB（ASA），

∴CG=BE=6，

∴DG=CD﹣CG=10﹣6=4．

②AE=DE，过点E作EM⊥AD于M．

∵AE=DE，EM⊥AD，

∴∠AEM=∠DEM，∠AME=∠DME=90°，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BAE=∠AEM=∠DEM=∠EDG，

∴．

由（1）得AG=AB=10，

∴DG6；

③AD=DE，过D作DN⊥AE于N，

∴∠AND=∠AEB=90°，AN=NE．

∵∠DAE+∠BAE=∠ADN+∠DAE=90°，

∴∠BAE=∠ADN，

∴△ADN∽△BAE，

∴，

即：，

∴．

∵∠ABE+∠CBG=∠CGB+∠CBG=90°，

∴∠ABE=∠CGB．

∵∠AEB=∠BCG=90°，

∴△BCG∽AEB，

∴，

即：，

∴CG=5，

∴DG=CD﹣CG=10﹣5=5．

综上所述：DG=4或6或5．

（3）①如图2，点C'，C关于直线BG对称，连接BC'，连接PE，由轴对称性质得：BC'=BC，∠C'BG=∠CBG，GC=GC'，∠BGC'=∠BGC，

∴∠BC'G=∠BCG=90°，

∴∠AC'B=∠GDA=90°．

∵AB∥DC，

∴∠BAC'=∠AGD．

∵BC'=BC=AD，

∴△ABC'≌△GAD（AAS），

∴AG=AB=10，DG6．

∵AB∥CD，

∴∠BGC=∠ABG=∠AGB．

∵AE⊥BG，

∴BE=EG．

∵AP=PG，

∴PE∥AB∥CD，PEAB=5，

∴△DFG∽△EFP，

∴，

∴．

②如图3，当点C'落在矩形ABCD对角线AC上时．

∵∠AEB=∠BEC=∠ABC=∠BCG=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠CBG+∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠CBG，

∴△ABC∽△BCG，

∴，

即CG，

∴DG=CD﹣CG=10．

当点G向右运动且不与点C时，C'始终落在四边形ADGE内部，

∴DG＜10，

∴DG＜10．

故答案为：DG＜10．