Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．
（1）若△ADC的周长为16，AB=12，求△ABC的周长；
（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB=2：5，求∠ADC的度数．

Answer 1

解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
又∵△ADC的周长为16，
∴AD+CD+AC=16，
即BD+CD+AC=BC+AC=16，又AB=12，
∴AB+BC+AC=16+12=28，
则△ABC的周长为28；

（2）∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵∠CAD：∠DAB=2：5，
设一份为x，即∠CAD=2x，∠DAB=∠ABD=5x，
又∠C=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，即2x+5x+5x=90°，
解得：x=7.5°，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=5x+5x=10x=75°．
分析：（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到AD=BD，再由三角形ADC的周长为16，得到三边长AD+DC+AC=16，把等式中的AD等量代换为BD，由BD+DC=BC，得到AC+BC的长，加上AB的长，即为三角形ABC的周长；
（2）由（1）得到的AD=BD，根据等边对等角得到∠ABD=∠BAD，又∠CAD：∠DAB=2：5，可设∠CAD=2x，∠DAB=5x，根据直角三角形的两锐角互余，可得∠CAD+∠DAB+∠ABD=90°，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出∠DAB与∠ABD的度数，又∠ADC为三角形ABD的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，由∠DAB与∠ABD的度数之和即可求出∠ADC的度数．
点评：此题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，要求学生借助图形，多次利用等量代换的方法，达到解决问题的目的，同时对于比例问题，一般情况设每一份，表示出各角，利用三角形的内角和定理列出方程，进而求出各角的度数．